非專業立體機動裝飾研究報告

非專業立體機動裝飾研究報告艾倫的行進方式怎樣才能保命?後記附錄

本篇是看過【閒聊】人體承受立體機動裝置的加速度之後，覺得此篇有趣，會略有不足，所以作出一次推論和估算
純為興趣之作，切勿當真
本人不負責任何因計算或推導錯誤所引起或產生之任何意外。
2013年7月18日

近來大熱之「進擊之巨人」，相信不少人有看過。對於其「蜘蛛俠」式的「立體機動裝置」來移動的設定，相信亦有不少人趨之若鶩，想來說一說，好，本文就用我現學現查現賣的物理和數學知識，去分析「立體機動裝置」的真相。

艾倫的行進方式

巨人們的可怕，相信經歷過多次入侵的艾倫就最清楚不過。「立體機動裝置」最大的用途，是用來對付身高比人類高很多，但弱點只有後頸一小部分的巨人們。為了補足人體的身高不足，迫不得以用繩(鋼纜?)盪來盪去繞到巨人後頸位置，作出致命一擊。

但巨人們極難對付，每次外查的調查兵團只有10%的人可以回來。所以實際操作上，「立體機動裝置」最大的用途，應當是繼馬匹之外，最有效的保命逃跑工具。

根據維基百科所示:

假設繩索是無重量，不拉長，一直綳緊；
Motion為2D，鐘擺行程為一弧而非橘圖形；
沒有能量流失，忽略空氣阻力和阻力。

則，可得出一條微分方程:

\begin{matrix} (1) & \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + \frac{g}{l} s i n (θ) = 0 \end{matrix}

$9.81 \frac{kg}{m^2}$ $l$ $\theta$ $\theta(t)$ $\theta_0$ 為初始角度(即一開始放手時的角度)。此為一微分方程，不能輕易求解。

已知鐘擺會由位能-->動能-->位能

$\Delta U=mgh$

$\Delta K=\frac{1}{2}mv^2$

$\theta$ )，動能差=位能差

\begin{aligned} (2) & \frac{1}{2} m v^{2} & = m g h \\ (3) & v & = \sqrt{2 g h} \end{aligned}

轉成用角位移來表示則為:

\begin{aligned} (4) & v = l \frac{d θ}{d t} & = \sqrt{2 g h} \\ (5) & \frac{d θ}{d t} & = \frac{1}{l} \sqrt{2 g h} \end{aligned}

$v = r\omega$ $a = \dfrac{v^2}{r}$ $\omega$ $\dfrac{d\theta}{dt}$ 表示。)

如圖所示，

\begin{matrix} (6) & y_{0} = l c o s (θ_{0}) \end{matrix}

又，

\begin{matrix} (7) & y_{1} = l c o s (θ) \end{matrix}

所以，

\begin{matrix} (8) & h = l (c o s θ - c o s θ_{0}) \end{matrix}

代入上式:

\begin{aligned} (9) & \frac{d θ}{d t} & = \frac{1}{l} \sqrt{2 g h} \\ (10) & \frac{d θ}{d t} & = \sqrt{\frac{2 g}{l} (c o s θ - c o s θ_{0})} \end{aligned}

中學有學過鐘擺原理，而鐘擺週期為:

\begin{matrix} (11) & T_{0} = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}} \end{matrix}

$\theta_0$ $5\degree$ 以內。而實際應用以下方法求得:

將上式上下倒轉:

\begin{aligned} (12) & \frac{d θ}{d t} & = \sqrt{\frac{2 g}{l} (c o s θ - c o s θ_{0})} \\ (13) & \frac{d θ}{d t} & = \sqrt{\frac{l}{2 g}} \frac{1}{\sqrt{c o s θ - c o s θ_{0}}} \end{aligned}

擺動一個周期，角度變化應為:

\begin{matrix} (14) & T = t (θ_{0} \to 0 \to - θ_{0} \to 0 \to θ_{0}) \end{matrix}

可以簡化為:

\begin{matrix} (15) & T = 4 t (θ_{0} \to 0) \end{matrix}

$\theta \to 0$ 時間應為上式的積分:

\begin{matrix} (16) & T = 4 \sqrt{\frac{l}{2 g}} \int_{0}^{θ_{0}} \frac{1}{\sqrt{c o s θ - c o s θ_{0}}} d t \end{matrix}

好，這條不是人類能理解的積分式，所以我直接複製維基百科的答案:

\begin{matrix} (17) & T = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} K (s i n \frac{θ_{0}}{2}) \end{matrix}

$K$ 為complete elliptic integral of the first kind(不要問我是甚麼……)

\begin{matrix} (18) & K (k) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - k^{2} s i n^{2} u}} d u \end{matrix}

所以，用人類的語言來說，

\begin{matrix} (19) & T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}} (1 + \frac{1}{16} {θ_{0}}^{2} + \frac{11}{3072} {θ_{0}}^{4} + \frac{173}{737280} {θ_{0}}^{6} + \frac{22931}{1321205760} {θ_{0}}^{8} + \frac{1319183}{951268147200} {θ_{0}}^{10} + \frac{233526463}{2009078326886400} {θ_{0}}^{12} + \dots) \end{matrix}

而艾倫逃走方向等於巨人前進方向(即水平方向)，為簡單計算水平方向的前進速度，用每半個鞦韆水平方向的位移，除半個周期:

水平方向的位移總量有:

\begin{matrix} (20) & s_{x} = 2 l s i n θ_{0} \end{matrix}

所以水平方向逃跑速度:

\begin{aligned} (21) & v_{x} & = \frac{2 l s i n θ_{0}}{4 \sqrt{\frac{l}{g}} K (s i n \frac{θ_{0}}{2}) / 2} \\ (22) & v_{x} & = \frac{l s i n θ_{0}}{\sqrt{\frac{l}{g}} K (s i n \frac{θ_{0}}{2})} \end{aligned}

根據書中所載，60m級數的巨人只出現過兩次(註: 寫這篇研究時，漫畫內容才進入到艾倫奪還戰)。就假設一般都是和巨人化的艾倫一樣都是15m高的級數。那繩索長度按理就不會準備得太長，而且據書中和動畫所見，都是約4-5層樓高。

$12m$ $g$ $9.81 \frac{kg}{m^2}$ 。

$\theta_0$ $90\degree$ $90\degree$ ，擺盪就不會以當初假設繩子一直都是拉直來進行擺盪。

將公式輸入wolframalpha.com (原來維基百科和wolfram對於K(k)的定義不一樣，差了一個二次方….各位如想代入請注意)，得出

$\theta_0$ $m/s$ )。

$\theta_0 = 1.38013 rad = 79.076 \degree$ $v_x$ $5.98104m/s$ 。

$11\degree$ $13.8m/s$ $23.57m$ $3.94s$ $0m/s$ ，之後再發射下一次繩索。

但話說回來… 好慢呀…

$5.98m/s$ $100m$ $16.7$ $13.8m/s$ ，也不比單車來得快…..難怪沒有瓦斯的部隊注定成為巨人的點心。

怎樣才能保命?

那到底要用怎樣的方法來前進才可以保命呢？在還沒研究氣動裝置之前，就讓我試用所有方法去幫助艾倫逃跑吧。

$88km/h$ $24m/s$ 。艾倫要保持著這個速度，就不能只夠用上述的方法盪來盪去。從動畫得到靈感(話說我在動畫還未推出的差不多一年前就已經在看漫畫版)，在第六、第七集動畫中十分活躍的三笠，除了靠著繩索在空中盪之外，有時還會甩開繩索騰空翻滾。

那原來艾倫他們的行進方式應為這樣：

根據維基百科對拋體運動(Projectile motion)所示：

$v_0$ $\theta$ ，則：

\begin{matrix} (23) & v_{0} = v_{0_{x}} i + v_{0_{y}} j \end{matrix}

$\textit{\textbf{i}}$ $\textit{\textbf{j}}$ 為單位向量，即水平和垂直的方向。

\begin{aligned} (24) & v_{0_{x}} & = v_{0} c o s θ \\ (25) & v_{0_{y}} & = v_{0} s i n θ \end{aligned}

那麼，水平和垂直的加速度則是:

\begin{aligned} (26) & a_{x} & = 0 \\ (27) & a_{y} & = g \end{aligned}

而水平和垂直的位移則是:

\begin{aligned} (28) & x & = v_{0} t c o s θ \\ (29) & y & = v_{0} t s i n θ - \frac{1}{2} g t^{2} \end{aligned}

$\theta$ $\theta$ 的值越大，則騰空時間多了，但水平移動則不遠，只會原地踏步。

$x_{max}$ $t_{max}$ $y$ $0$ 。

\begin{aligned} (30) & 0 & = v_{0} t_{m a x} s i n θ - \frac{1}{2} g {t_{m a x}}^{2} \\ (31) & t_{m a x} & = 0 OR \frac{2 v_{0} s i n θ}{g} \end{aligned}

$x_{max}$ 為：

\begin{aligned} (32) & x_{m a x} & = v_{0} t_{m a x} c o s θ \\ (33) & = v_{0} (\frac{2 v_{0} s i n θ}{g}) c o s θ \\ (34) & = {v_{0}}^{2} (\frac{2 s i n θ c o s θ}{g}) \\ (35) & = \frac{{v_{0}}^{2} s i n (2 θ)}{g} \end{aligned}

$sin(2\theta) = 1$ $x_{max}$ 有最大值，所以：

\begin{aligned} (36) & s i n (2 θ) & = 1 \\ (37) & θ & = 45 ° \end{aligned}

$45 \degree$ 。

$45\degree$ $v_x$ $88km/h$ $24m/s$ 。

\begin{aligned} (38) & v_{x} & = 24 m / s \\ (39) & v_{x} & = v (c o s 45 °) \\ (40) & v & = (\frac{24}{c o s 45 °}) m / s \end{aligned}

如果動能和勢能的轉換中能量沒有流失，那麼

\begin{aligned} (41) & \frac{1}{2} m {v_{0}}^{2} + m g h & = \frac{1}{2} m v^{2} + m g h \\ (42) & v_{0} & = v = (\frac{24}{c o s 45 °}) m / s \approx 33.9411 m / s \approx 122.1881 k m / h \end{aligned}

$48m/s$ $172.8km/h$ $117m$ （約39層樓高）處墮下才能達到此初速。那麼真的非有氣動不可吧！

先不論氣動裝置如何幫忙艾倫達到這速度，現在先來研究一下在這情況下人體所受的繩索拉力。

如之前的計算，

$\Delta U = mgh$

$\Delta K = \dfrac{1}{2}mv^2$

$\theta$ )，

\begin{aligned} (43) & \frac{1}{2} m v_{2} & = m g h + \frac{1}{2} m {v_{0}}^{2} \\ (44) & v & = \sqrt{2 g h + {v_{0}}^{2}} \end{aligned}

轉成用角位移來表示則為：

\begin{aligned} (45) & v & = l \frac{d θ}{d t} = \sqrt{2 g h + {v_{0}}^{2}} \\ (46) & \frac{d θ}{d t} & = \frac{1}{l} \sqrt{2 g h + {v_{0}}^{2}} \end{aligned}

$h$ 之後得出：

\begin{matrix} (47) & \frac{d θ}{d t} = \sqrt{\frac{2 g}{l} (c o s θ - c o s θ_{0}) + \frac{{v_{0}}^{2}}{l^{2}}} \end{matrix}

$\theta$ 在每個時間點的數值。

首先，先試試代入之前得出的結論，來驗證一下先前的計算結果。

$\theta_0 = 1.38013rad = 79.076\degree$ $0rad/s$ 。

$y = -1.378$ $x = 3.957$ $-1.378rad$ $-79\degree$ $3.957s$ $3.94s$ $0 rad/s$ $0rad$ $−1.148rad/s$ $12m$ $13.776m/s$ $13.8m/s$ 符合。

$24m/s$ $v_0$ $33.94m/s$ $為2.8284rad/s$ $\theta_0$ $45\degree$ $0.7854rad$ ）。

$-45\degree$ $45\degree$ $0.5452s$ $−2.8$ $−2.9$ $v$ $33.9m/s$ $34.9m/s$ ）。 $34.4m/s$ )圓周運動去計算，省卻很多複雜的計算。

$45\degree$ 時放手拋出自己，任由自己轉動，那麼在忽略空氣阻力和摩擦力下，艾倫會轉動392圈，共花24.9分鐘才能進入預期的周期性鐘擺運動。

省卻麻煩的鐘擺運動，簡化其為均速圓周運動去計算的話，那艾倫所受到繩索的拉力加速度為：

\begin{aligned} (48) & a & = \frac{v^{2}}{r} \\ (49) & = \frac{(34.4)^{2}}{12} \\ (50) & = 98.61 k g m / s^{2} \end{aligned}

$65kg$ $T$ 就有：

\begin{matrix} (51) & T = 65 \times 98.61 = 6, 409.9 N \end{matrix}

至底有6400牛頓有多大的力？想像一下，把艾倫的頭、手和腳牢牢的固定在天花板上，之後在艾倫腰間繫上一隻乳牛…【閒聊】人體承受立體機動裝置的加速度 $a = \frac{v^2}{r}$ 去計算。）

待續…

後記

寫這篇文章時，受到了空想科學系列的影響，那一段時間，都會十分科學地去計算要用多少時間才能把電熱水爐的水加熱、太陽透過窗戶，會為我房間上升多少度等問題。而這一篇則是啟發自【閒聊】人體承受立體機動裝置的加速度的研究，一開始是想驗算一下，但越看則越不對勁，覺得他有些地方錯了，於是用了一星期時間計算、編程和撰寫這文章，也算得上是有趣的回憶。

附錄

由於Matlab是要付費的，已經很久沒有使用過Matlab了，所以改用現在較為流行又免費的Python來完成。


31
1
import numpy as np
2
from scipy.integrate import solve_ivp
3
import matplotlib.pyplot as plt
4

5
# Data of the problem.
6
g = 9.81  # gravitational acceleration
7
l = 12  # length of the pendulum (distance of the center of gravity from the suspension pivot)
8

9
# The second order equation of motion (ODE) was converted to first order form.
10
# This is the right hand side function. y[0] = angle, y[1] = angular velocity.
11
def f(t, y):
12
    return [y[1], -g/l*np.sin(y[0])]
13

14
thetadot0 = [-24/np.cos(np.pi/4)/12]  # initial angular velocity
15

16
for td0 in thetadot0:
17
    Theta0 = [np.pi/4, td0]  # initial condition: hanging down, with nonzero initial velocity
18

19
    # Solve the ODE
20
    sol = solve_ivp(f, [0, 2], Theta0, method='RK45', t_eval=np.linspace(0, 2, 1000))
21

22
    # Plot the solution
23
    plt.figure()
24
    plt.plot(sol.t, sol.y[0, :], linewidth=2, color='red', marker='none', label='angle')
25
    plt.plot(sol.t, sol.y[1, :], linewidth=2, color='blue', marker='none', label='angular velocity')
26
    plt.xlabel('Time')
27
    plt.ylabel('Solution')
28
    plt.title('Initial angular velocity = {}'.format(td0))
29
    plt.grid(True)
30
    plt.legend()
31
    plt.show()